某公司考虑到在北京、上海、广州和武汉四个城市设立库房，这些库房负责向华北、华中和华南三个地区供货，每个库房每月可以处理货物1000件。在四个城市设立库房每月成本依次为：4.5万元、5万元、7万元和4万元。在现有约束条件下综合考虑库房设立成本和货物运输成本，给出最佳设立方案和运输方案。### 运筹学与最优化课程设计二——公司的库房设置问题#### 问题背景一家公司计划在北京、上海、广州和武汉四个城市之一或多个设立库房，并通过这些库房向华北、华中和华南三个地区供货。每个库房每月能够处理1000件货物，设立库房的成本分别为4.5万元、5万元、7万元和4万元。公司希望通过综合考虑库房设立成本和货物运输成本，在满足特定条件的情况下，确定最佳的库房设立方案和运输方案。#### 需求与成本- 华北、华中和华南三个地区的月平均需求量分别为500件、800件和700件。- 货物运输成本（单位：元/件）见下表：| 目的地 | 北京 | 上海 | 广州 | 武汉 ||--------|------|------|------|------|| 华北| 200 | 300 | 600 | 350 || 华中| 400 | 250 | 350 | 150 || 华南| 500 | 400 | 300 | 350 |#### 约束条件1. 如果在上海设立库房，则必须在武汉也设立库房；2. 最多设立3个库房；3. 武汉和广州不能同时设立库房。#### 解决方案##### 建立数学模型- **目标函数**：最小化月总成本，包括库房设立成本和货物运输成本。- **决策变量**：\(x_1, x_2, x_3, x_4\) 分别表示在北京、上海、广州和武汉设立库房的情况（1为设立，0为不设立）；\(x_5, x_6, \ldots, x_{16}\) 表示从各个库房向不同地区运输的货物数量。- **约束条件**： - 满足地区需求； - 库房设立数量限制； - 特殊条件限制（上海与武汉的关系、武汉与广州的关系）。##### 数学模型公式- **目标函数**: \[ Min\ z = 45000x_1 + 50000x_2 + 70000x_3 + 40000x_4 + 200x_5 + 300x_6 + \cdots + 350x_{16} \]- **约束条件**: - 库房设立数量限制：\[x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \leq 3\] - 满足地区需求：\[\begin{aligned}x_5 + x_6 + x_7 + x_8 &\geq 500 \\x_9 + x_{10} + x_{11} + x_{12} &\geq 800 \\x_{13} + x_{14} + x_{15} + x_{16} &\geq 700\end{aligned}\] - 库房处理能力：\[\begin{aligned}x_5 + x_9 + x_{13} &\leq 1000x_1 \\x_6 + x_{10} + x_{14} &\leq 1000x_2 \\x_7 + x_{11} + x_{15} &\leq 1000x_3 \\x_8 + x_{12} + x_{16} &\leq 1000x_4\end{aligned}\] - 特殊条件：\[\begin{aligned}x_3 + x_4 &\leq 1 \\x_2 - x_4 &\leq 0\end{aligned}\]##### 求解过程- **使用MATLAB求解**： - 构建线性规划模型，并调用`intlinprog`函数求解整数规划问题。 - 解得\(x_1, x_2, x_4\) 应该设立库房，且具体的运输方案为：北京仓库向华北地区供货500件，上海仓库向华南地区供货500件，武汉仓库向华中地区供货800件，向华南地区供货200件。 - 最低月成本为62500元。 - **使用Excel求解**： - 采用Excel的Solver插件构建模型并求解。 - 结果与MATLAB一致，验证了解决方案的有效性和正确性。#### 灵敏度分析假设将库房设立成本和货物运输成本分开考虑，即分别最小化库房设立成本和货物运输成本。这种情况下，我们需要重新构建两个独立的目标函数，并求解。- **库房设立成本模型**: \[ Min\ z_1 = 45000x_1 + 50000x_2 + 70000x_3 + 40000x_4 \]- **货物运输成本模型**: \[ Min\ z_2 = 200x_5 + 300x_6 + \cdots + 350x_{16} \]- **求解结果**： - 在这种情况下，可能的最佳解决方案会有所不同，具体取决于新模型下的求解结果。#### 总结通过综合运用运筹学中的线性规划方法和工具（如MATLAB、Excel），我们能够有效地解决公司的库房设置问题，并找到最优的库房设立方案和货物运输方案。这种方法不仅适用于本案例，还可以推广到其他类似的问题中，帮助企业做出更优的决策。